domingo, 17 de mayo de 2015

Las fichas y el florero

Disponemos de infinitas fichas numeradas. A las doce menos un minuto metemos en un florero las fichas que van de la 1 a la 10 y sacamos la 1. Medio minuto antes de las doce metemos de la 11 a la 20 y sacamos la 2. Un tercio de minuto antes de las doce metemos de la 21 a la 30 y sacamos la 3. Y así sucesivamente. ¿Cuántas fichas habrá a las doce en punto en el florero?

12 comentarios:

  1. Hola a todos y todas, intentaré explicar la duda y las objeciones que veo en la solución que se da en la paradoja "las fichas y el florero" y ¿a ver? si alguien consigue desmontármelas. Comenzaré diciendo que conozco y entiendo el razonamiento que se hace para la solución del mismo, pero yo opongo otro argumento, seguramente hay algo que se me escape, algo que no llego a comprender. He de decir también que sé que significa un infinito, los tipos de infinitos que existen, o que es un paso al límite, etc. Bueno, comienzo
    La solución dice que dada cualquier ficha, por ejemplo la 30, no estará porque habrá sido extraída en algún paso, en nuestro ejemplo, en el paso 30. No obstante, justo después de cada paso sigue habiendo fichas dentro del florero, con lo cual, la primera objeción que planteo es la siguiente ¿Justo después de qué paso queda el florero vacío? Y como la respuesta es ninguno, deberemos concluir que el florero no está vacío (al menos que se realizará otro tipo de procedimiento).
    Muchos me ponen la objeción de que el "paso infinito" no es equivalente a un paso concreto cualquiera, en ese caso, y dado que los pasos son un conjunto infinito y numerable, se debería decir lo mismo de las fichas ¿no? es decir, si realizar una cantidad infinitas de pasos no es extrapolable a realizar una cantidad finita de pasos, por muy grande que este número sea, tampoco debería ser extrapolable este procedimientos con las fichas, ya que, además de ser un conjunto numerable, es un conjunto infinito , en el sentido de que dada cualquier cantidad que digamos, siempre podemos decir un paso concreto en esa cantidad sea superior a la dicha.
    Por ende, la ficha “infinita” debe ser tratada de forma diferente, en ese sentido, a cualquier ficha concreta, si seguimos un razonamiento análogo al que se da cuando yo argumento con los pasos.
    Dicho de otro modo, decir que no hay ninguna ficha porque no está ni la 1, ni la 2, ni la 3, etc. extrapolando esto al conjunto de todas las fichas , que es infinito ( ya que si la cantidad de fichas fuera finita el resultado sería cierto), es un razonamiento análogo a este , aunque llegando a la conclusión contraria: si después de realizar el paso, un número de veces cualquiera (finito) , quedan fichas (de hecho cada vez contiene más) , extrapolando, igual que hicimos con las fichas, a un número infinito de veces, también deberían quedar fichas.
    Quiero decir que si se dice que el argumento de los pasos es distinto al de las fichas, se debería explicar muy bien el porqué, pues ambos conjuntos son infinitos y numerables ¿o no?
    Un segundo argumento es el siguiente, si en cada paso, en vez de sacar la ficha n, sacáramos la ficha 10(n-1)+1, es decir, en el paso 1 saco la 1 ,en el 2 la 11 , en el 3 la 21, etc. El florero si quedaría con infinitas fichas y en este caso el procedimiento es análogo al anterior, pues en cada paso meto 10 y extraigo 1, es decir, ¿cómo es posible que dieran resultados distintos si lo único que cambia, en cada caso, es la ficha extraída cada vez?
    Por cierto, los dos argumentos los considero independientes, luego me gustaría que se me rebatieran los dos.
    Un saludo y gracias.

    ResponderEliminar
  2. Un segundo argumento es el siguiente, si en cada paso, en vez de sacar la ficha n, sacáramos la ficha 10(n-1)+1, es decir, en el paso 1 saco la 1 ,en el 2 la 11 , en el 3 la 21, etc. El florero si quedaría con infinitas fichas y en este caso el procedimiento es análogo al anterior, pues en cada paso meto 10 y extraigo 1, es decir, ¿cómo es posible que dieran resultados distintos si lo único que cambia, en cada caso, es la ficha extraída cada vez?

    Parece razonable pensar que el número total de fichas que quedan al final es el número de fichas que meto menos el número de fichas que saco. ¿Correcto?.

    Lo malo de este caso es que tanto el número de fichas que meto como el que saco es infinito, así que si aplicamos la fórmula anterior tendríamos: ∞ - ∞ que es una indeterminación. En resumen la forma en la que saquemos las fichas sí que importa a la hora de obtener el resultado final.

    Sumar (y restar) infinitas veces tiene sus complicaciones. Supongo que conocerás el problema de la suma infinita:

    1-1+1-1+1-1+1-...

    que según vayas reordenando los sumandos puedes obtener que el resultado final sea 0, 1, o inclusive 1/2

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Gracias por resolverme la segunda objección, ahora falta la primera.
      sí, conozco las series oscilantes e incluso el teorema que dice que en las series condicionalmente convergente puede reordenar los términos para obtener cualquier cantidad.
      Ahora , por favor resuleveme la primera duda.
      Un saludo y gracias.

      Eliminar
    2. Aunque tu argumentación me parecio lógica en un principio, cuando se reagrupan los términos en las series, se suponen que son cantidades ¿no? ,aunque éstas vengan determinada por el orden del término que ocupan. Así, si identificamos cada paso con un término, concluiras conmigo que, todos los términos son iguales.

      Dicho de otro modo, distingamos dos tipos de pasos en el procedimiento,el primero el de meter 10 fichas, el segundo el de sacar 1, por tanto, tendremos la siguiente sucesión
      meto 10 fichas, saco 1, meto 10 fichas, saco 1.....la sucesión (expresada en términos matemáticos) sería:
      +10, -1,+10,-1... y la serie sería la suma der todos los términos (hasta llegar a "infinito"). ¿ves dónde quiero ir a parar?. Sea cual sea la ficha extraida en en cada ocasión, lo que importa es la cantidad de fichas metidas y/o extraidas en cada paso y no cuales sean estas.

      Es decir, la sucesión que yo veo aquí sería la siguiente:
      El subindice n indica porque paso vamos, el término a sub n nos indica la cantidad de fichas extraidas o metidas dentro del jarrón.

      Y en este caso el resultado es alterable, sólo, si yo cambio el orden de estos pasos, es decir, imagina que primero meto 10, luego hago 10 pasos seguidos sacando 1 ficha, luego vuelvo a meter 10 fichas , etc.

      ¿me explico? supongo que mi argumento en este sentido también es erroneo ¿pero en qué?

      Gracias y saludos.

      Eliminar
    3. Estás perdiendo de vista que las fichas están numeradas. Si cuando queda 1/n de minuto para las doce no sacásemos la ficha n, sino la ficha 2n, el florero se llenaría con infinitas fichas, en concreto con todas aquellas fichas numeradas con impares. No se trata solo de cuántas fichas metemos y sacamos, sino de cuáles, es decir, de qué biyección planteamos. En el problema biyectamos los naturales (que metemos, de diez en diez), con los naturales (que sacamos de uno en uno). En el ejemplo que acabo de exponer, la biyección sería entre los naturales que metemos y los pares que sacamos. Por eso nos quedan en el florero los impares. Así, cambiando el procedimiento, podemos dejar en el florero cualquier conjunto de naturales que nos parezca.
      No puedes aplicar tu intuición finita a la cardinalidad infinita. Para todo n natural, n y 10n son evidentemente distintos. Pero si n se hace alef-0, ∞ y 10·∞ son iguales, por lo que podemos biyectarlos y hacer que, al restarlos, de cero. Precisamente el hecho de que un conjunto infinito sea biyectable con un subconjunto propio es lo que caracteriza al infinito y lo que le hace tan raro.

      Eliminar
    4. Tienes razón en esa parte, y la primera objección ¿tienes alguna idea de como resolverla?
      Gracias por rsolver una de las partes.

      Eliminar
  3. Ya lo hemos hablado, pero voy a insistir: no hay un último paso, ni un paso infinito, ni nada de eso. La gracia estriba, precisamente, en que, tras cada paso que podamos imaginar, quedan una cantidad infinita de pasos.

    Insistes en lo de la inferencia, pero no hay tal inferencia. El argumento de la solución del problema se sitúa en el futuro, cuando ya ha ocurrido todo lo que tenía que ocurrir. Verás: son las doce, ya han dado las doce. Entonces te pido que pienses en una ficha. ¿Cuál has pensado, la n? Pues bien: no está, porque la sacamos cuando quedaba 1/n de minuto para las doce. Pienses la ficha que pienses, no está en el florero. Pero no inducimos nada, no inferimos nada. Hablamos de lo que ha ocurrido, y lo que ha ocurrido es que cada ficha que podamos imaginar fue sacada del florero en un cierto instante anterior.

    Sin embargo, tú planteas un argumento desde el pasado: dices: en cada momento que imagino, hay fichas en el florero. Y es cierto. Pero de eso infieres que en el futuro, cuando den las doce, seguirá habiendo fichas en el florero. ¿Por qué? ¿En qué te basas para inferir tal cosa? Eres tú el que infieres y el que, por tanto, debería explicar en qué se basa tal inferencia. El onus probandi está de tu lado.

    Espero haberme explicado.

    ResponderEliminar
  4. Comenzaré por el final, aunque aqui no está lo que yo planteo.

    Primero. ¿En que instanste del intervalo abierto (11:59, 12:00) queda el florero vacio? en ninguno ¿correcto? , es decir, en ningún instante antes de las 12:00 y después de las 11:59 el florero queda vacio.

    Segundo: ¿cuántos pasos se realizan a las 12:00? ninguno

    Conclusión: si en cualquier instante, entre las 11:59 y las 12:00, contenia fichas y a las 12:00 no se realizó ningún paso ¿cómo pudo quedar vacio?
    Al menos que se realizara otra acción distinta a la propuesta en la paradoja, no se me ocurre como podría pasar esto.

    Ahora respondo a la primero:

    Me dices "no hay un último paso, ni un paso infinito" es cierto y lo sé, sólo es una manera de hablar, una manera de decir que da igual cuantos pasos hayamos realizado, siempre podemos realizar uno más.
    El problema es que con las fichas ocurre lo mismo, las fichas también son infinitas, es decir, da igual cuantas hayamos metido y extraido que siempre podremos seguir tomando 10 para meterlas.

    y Ahora volveré a explicar la duda, y es lo que no supe explicar.

    Primero nos fijaremos en el razonamiento que se hace para solucionar la paradoja:

    La ficha 1, no está porque salio en el paso 1; la ficha 2, tampoco está ,porque salio en el paso 2, y en general, la ficha n, no está porque salio en el paso n (siendo n cualquier número natural)

    y en este momento es cuando yo digo que se hace una extrapolación al infinito, porque ¿cuántas fichas hay?

    Pero ésta, no es aún mi duda, ahora haré un razonamiento análogo a este para los pasos:

    Después del paso 1, quedan fichas; despues del paso 2, también, quedan fichas, y en general, despues del paso n, siendo n cualquier número natural, sigue habiendo fichas dentro del florero ( no sólo quedan fichas, sino que cada vez quedan más).

    ¿Ves que los razonamientos son análogos?
    y ahora viene la duda:
    ¿por qué es valido realizar la "extrapolación al infinito" para las bolas y no para los pasos?
    Por favor , intenta responde a esta pregunta, ya que yo comprendo el argumento de la paradoja, sé que en ese caso nos situamos a las 12:00, también sé que infintos pasos no se refiere a que haya un último paso infinito, sino que para cada paso siempre se puede realizar uno más, etc.

    Espero haber explicado bien mi duda, para que me puedas indicar, exactamente donde está mi fallo.
    un saludo y gracias.

    ResponderEliminar
  5. Te había escrito un montón de argumentos, pero luego me he dado cuenta de que me estaba repitiendo, y es algo que odio. Además, cuando un problema se encasquilla, lo mejor es plantearse otro y, resuelto este, volver al original. Por eso te propongo esta otra cuestión: vamos a hacer una suma infinita. Cuando queda un ½ de minuto para las doce, echo medio kilogramo de oro en mi balanza; cuando queda 1/4 de minuto, echo ¼ de kilo; cuando queda 1/8 de minuto, echo 1/8 de kilo. ¿Cuánto oro tendré en la balanza a la doce?

    ResponderEliminar
  6. Pero ¿entendistes mi razonamiento? es que te empeñas en explicarme el argumento que resuleve la paradoja y mi duda va por otro camino. De todas formas te conesto a lo que me planetas. Ese problema es fácil , es una serie geométrica en el que el último término es, evidentemente 0 , o mejor dicho tiende a 0, y el primero es 1/2. Por tanto, tendré que usar la fórmula que hay para ese tipo de series, y como la razón está entre 0 y 1, la solución no es infinita, si no me equivoqué, es de 1 kg.
    Aunque, este problema lo veo completamente diferente a la paradoja expuesta, no sé en que sentido puede asemejarse este a aquél. Aunque sigo a la espera.
    Gracias por todo.

    ResponderEliminar
  7. Si aplicas tu argumento al ejemplo que te acabo de poner, tendrías que preguntar cuándo se completa el kilo, porque antes de las doce el kilo no se ha completado, y a las doce no se hace ninguna operación.

    ResponderEliminar
  8. Pero es distinto porque las cantidades que se van añadiendo, en el caso que propones, son cada vez menores y si vamos mirando que ocurre despues de cada paso, podemos observar que la cantidad total se aproxima cada vez más a 1. Dicho en términos matemáticos, el límite y la "solución" coinciden.
    No obstante, en el caso de la paradoja propuesta, después de cada paso, no sólo no hay menos fichas dentro del jarrón, sino que cada vez hay más. Es decir, el límite cuando el número de pasos se hace infinito, no coincide con la solución.

    De todas formas, este no es el razonamiento que propongo para que se me refute.
    El razonamiento que quiero que se me refute es el que hago por análogia con las fichas, pero pafra los pasos.
    un saludo. (gracias)

    ResponderEliminar