Las secciones planas de un cono

Las cónicas son las secciones planas de un cono. Y lo mejor es verlas.

Las propiedades de reflexión de las cónicas

Sean rayos de luz o bolas de billar, las cónicas los reflejan de sorprendentes maneras. 

Las ecuaciones de las cónicas

A partir de su definición como lugar geométrico, obtenemos las ecuaciones canónicas de la elipse, la hipérbola y la parábola.

Fastidiándolo todo desde 1543

Es el diseño de una camiseta, pero no se puede decir más en tan poco espacio. Bueno, sí: el autor, Shawn Coss, podría haber añadido a los Reyes Magos.

Espirales. La cuarta dimensión.

Ando completando las viñetas que ilustran las entradas del Bestiario. Aquí van dos nuevas, para la Espiral y para la Cuarta dimensión.

Demostración espiral de la numerabilidad de los racionales

En esta historia matemática vamos a ver una secuencia para los números racionales que es interesante por varias razones: porque es muy geométrica, porque nos proporciona un mecanismo para evitar las repeticiones y porque las espirales siempre tienen un encanto especial.

Las cónicas como lugar geométrico

Las cónicas, además de obtenerse como secciones planas de un cono, pueden también definirse como lugares geométricos.

Y adornar en el jardín.

Reflejos circulares

Si el espejo es circular, ¿qué pasa con los reflejos? Pues de todo...

Paralelo, paralelogramo, paralelepípedo... y gramo

En etimologías hablamos del origen del termino paralelo y sus derivados, y también del curioso error que dio lugar al término para la unidad de masa: el gramo.

Mathematisch-Physikalischer Salon

El Salón Matemático-Físico de Dresde es un sitio exquisito con instrumentos astronómicos, físicos, increíbles relojes, globos terráqueos, autómatas y otros aparatos a cual más interesante y evocador. Merece la pena visitarlo, real o virtualmente.

Leche y huevos

Alejandro Sierra nos manda este chiste lleno de inocente lógica: Leche y huevos.

Definición geométrica de Río de Janeiro

Roberto Arlt, cronista argentino en la ciudad carioca, intenta definir geométricamente Río de Janeiro para conservar un recuerdo de lo que ve, pero es imposible...

Multiplicar, duplicar, triplicar... explicar

En la sección de etimologías hablamos del increíble campo semántico del término latino plicāre. En él podemos encontrar palabras como duplicar, triplicar, multiplicar, explicar, y muchas más.

Un tebeo con simetría central y un cinco que salva vidas

El tebeo simétrico es, nada más y nada menos, The Upside-Downs of Little Lady Lovekins and Old Man Muffaroo, obra de Gustave Verbeek y una genialidad de aquellos tiempos en los que a la gente no le daba vergüenza hacer genialidades. 










El cinco que salva vidas es un óleo cubista-futurista lleno de dinamismo de Charles Demuth que no es lo que parece.
O sí.

Epsilones, "La web de la semana"

Pues sí: el número 424 del boletín de la Real Sociedad Matemática Española menciona a Epsilones como "La web de la semana", lo cual registro en la página de autobombo para que conste.

Permutaciones lineales y circulares

La gente puede colocarse en línea, en círculo, de cualquier manera, o no colocarse.

Si nos atenemos a las dos primeras posibilidades, la pregunta es ¿de cuántas maneras pueden colocarse
n personas?

Racionalizar lo irracional

¿Se puede racionalizar un número irracional? El estado de Indiana lo hizo, por ley, en 1897.

► Pifias actuales.

Teorema de los cinco círculos y los pentagramas

Este teorema nos dice que si encadenamos cinco circunferencias sobre una dada obtenemos un pentágono estrellado inscrito.

Visto, hasta parece razonable. ¿Podrías probarlo?

La Lógica de Hegel

La lectura de la Lógica de Hegel es difícil, sobre todo si pretendes que todo tenga sentido… 

En cualquier caso, tiene frases magistrales, como cuando dice, por ejemplo, que “Cada hombre es un mundo de representaciones envueltas en la noche del yo”.

Dos son las entradas que le vamos a dedicar: una que recoge algunas de sus perlas acerca del infinito (de un considerable sabor cantoriano) y otra en la que habla del objeto de las matemáticas. 

Caos, una aventura matemática

Obra de un ingeniero belga y dos matemáticos franceses, Caos "es una película matemática dirigida a todo público" que "trata de sistemas dinámicos, del efecto mariposa y de la teoría del caos".

Además del vídeo, en la página oficial de la película se puede encontrar material adicional.

El ingeniero es Jos Leys, un viejo conocido de Epsilones.

Música y matemáticas según Gardner

Howard Gardner, fundador de la teoría de las inteligencias múltiples, explica que la relación entre la inteligencia matemática y musical tiene más que ver con el interés científico de la primera por la segunda que con ninguna conexión profunda entre ambas inteligencias.

Alegorías

Una propuesta de Alejandro Sierra nos lleva en esta ocasión a contemplar algunas de las alegorías que pintores y escultores le han dedicado a la arquitectura, la geometría y la aritmética.

Los centros de Kimberling y la circunferencia de nueve puntos

En secundaria se habla de los cuatro puntos notables del triángulo. Sin embargo, hay más, de hecho, Clark Kimberling se puso hace unos años a catalogarlos y ya va por más de 3000. Como ejemplo de otro punto notable hablo un poco del centro de la circunferencia de los nueve puntos.    








Y, ya que estamos, aprovecho para incluir una nueva bestia en el bestiario: el triángulo.

Fractales. A la caza de la dimensión oculta.

Este vídeo, además de una introducción a la geometría fractal, presenta varias de las aplicaciones de las fractales, desde la creación de efectos especiales o la investigación médica pasando por el diseño de antenas de telefonía.

Y sale Mandelbrot.

Comida extraterrestre

Matías dice, respecto de la pifia Verne y la comida extraterrestre, que no está de acuerdo con que no pudiésemos alimentarnos con comida de otros mundos porque “posiblemente, estuviera compuesta de las mismas biomoléculas que nosotros”. Y añade: “No entiendo tampoco por qué mencionan al ADN que nada tiene que ver”.

¿Qué opináis?

La cereza y la copa II

Daniel vuelve a insistir, pero sigue sin sacar la cereza de la copa, que ahora coloca bocabajo:

"Primer movimiento: situar la cerilla horizontal en la parte superior manteniendo la posición horizontal. Segundo movimiento: situar la cerilla vertical inferior en la parte superior, manteniendo la posición vertical, cuya cabeza toca el punto medio de la cerilla horizontal superior". En cuanto a unir círculos y cuadrados, sí que se puede".

En cuanto a unir círculos  y cuadrados, sí que se puede.

La cereza y la copa

Daniel manda un intento de solución para  La cereza y la copa. Dice así:

"Primer movimiento: situar la cerilla vertical izquierda en posición horizontal en la zona superior (encima de la cereza). Segundo movimiento: situar la cerilla vertical inferior en posición horizontal en la zona derecha, tocando con su cabeza el punto medio de la cerilla vertical derecha".

En mi modesta opinión no sacamos la cereza de la copa: tan solo la tumbamos.

El fractalista

Leo El fractalista,  autobiografía de Benoît Mandelbrot. Aunque literariamente no sea una maravilla, resulta muy interesante asistir a las peripecias vitales de este hombre que, al no encajar en ni ningún sitio, o en todos, que viene a ser lo mismo, tuvo que inventarse su propio lugar.

Defensor de la geometría “más antigua, la más concreta e inclusiva, específicamente impulsada por el ojo y asistida por la mano”, tenía el don de geometrizar los problemas analíticos y hacer fácil lo difícil. 

Tras años de deambular de un problema a otro, descubrió que en realidad siempre había estado trabajando en lo mismo, en esa irregularidad presente en todos los ámbitos de la realidad, desde la economía hasta la biología pasando por la física de las turbulencias o las leyes de repetición de las palabras.

Mandelbrot, con su geometría fractal, codificó una forma de mirar la realidad. Lo que antes solo estaba al alcance de unos pocos y de un modo inconsciente y sutil, hoy es patrimonio de todos. Gracias a él, sabemos que, en buena medida, el mundo es fractal. 

► Etimologías: fractal.

Triángulo de Reuleaux

El triángulo de Reuleaux es una curva de ancho constante, lo que permite construir con su forma ruedas, alcantarillas, rodillos. También aparece en el arte, antiguo y moderno, y en la industria, dando forma a brocas y lápices.

Dos teoremas aportan información sobre este triángulo curvo: el de Barbier, que asegura que en todas las curvas de anchura constante el perímetro es π veces su anchura; y el de Blaschke-Lebesgue, que afirma que el triángulo de Reuleaux es la curva de menor área con anchura constante, al otro extremo de la circunferencia, que es la que mayor área encierra.

Una curva interesante.

Dos ejercicios visuales

Hoy propongo dos pruebas visuales, Son pasatiempos veraniegos, realmente triviales, ¿verdad?




En una se trata de sacar la cereza de la copa formada por las cuatro cerillas.







En la otra hay que conectar círculos y cuadrados de colores.

El saltamontes semicircular

Tenemos un saltamontes cuyos saltos, contra todo pronostico físico, son semicirculares y de cualquier longitud que desee. El reto, bien sencillo, es optimizar sus recorridos.

Imágenes, imágenes, imágenes...

Alejandro Sierra nos propone, con una mezcla de "alegría y frustración", el sitio web Tips Images,  una base de datos fotográfica en la que encontramos una fuente inagotable de imágenes organizadas por categorías. Alegría por el tesoro encontrado, y frustración por la pérdida del encanto del descubrimiento. 

Aunque él mismo sugiere que "las historias de cada imagen todavía necesitan ser rescatadas". 

Pues eso, al tajo.

El oso

Mi compañero José me ha regalado un libro lleno de curiosidades matemáticas, acertijos, problemas de ingenio y ese tipo de cosas. Se trata de BrainMatics. Rompecabezas lógicos, de Ivan Moskovich.

A modo de ejemplo, incluyo en Epsilones un verdadero clásico en el que tenemos que averiguar el color del oso que se encuentra un explorador. La respuesta, cómo no, guarda una sorpresa.

El Aleph

Es este un buen ejemplo de como una cosa lleva a la otra. Empiezo copiando dos breves fragmentos de la magnífica novela El secreto de los dioses de Jesús Ferrero. Una menciona a su vez la paradoja de Aquiles y la tortuga del viejo Zenón, así que la incluyo también. La otra cita podría ser una descripción del Aleph de Borges, por lo que reparo la imperdonable falta y añado, también en la sección de literatura dos párrafos de El Alpeh, uno de los mejores cuentos jamás escritos. El libro homónimo se abre con una cita de Shakespeare, aquella del universo en una cáscara de nuez. La frase ya estaba en Epsilones, aunque, la verdad, no la había relacionado con el extraño punto infinito de Borges. Como tenemos ya tres referencias al objeto me decido a incluirlo en el bestiario y, al pensar en una imagen que ilustre la idea, recuerdo el autorretrato de Escher en una esfera reflectante. Finalmente abro en la sección de artes una entrada para ella y como ilustración copio la portada de mi ejemplar de El Aleph, tan manoseado el pobre. Sirva de guinda el que en todo esto encontraremos referencias al infinito, al tiempo, a las paradojas o a esferas de radio infinito y centro en ningún sitio. 

Lo puedes encontrar todo en este enlace: El Aleph.

Las mariposas de Vasarely

No sé por qué no había hablado hasta ahora de Vasarely... 

¿Arquímedes o Demócrito?

El siguiente grabado, propuesto por Alejandro Sierra, muestra a Demócrito, el filósofo sonriente, con un compás en la mano, lo cual es una baza a favor de que el retratado por José de Ribera sea, efectivamente, Demócrito.

Comparando costes

Esta corta conversación entre dos rectores en la que comparan los costes de algunos departamentos universitarios está entre mis chistes preferidos. Sé que los filósofos sabrán perdonarme.

Apotema

Con frecuencia los alumnos de secundaria se lían con este término que engloba dos, si no tres, significados diferentes. Su etimología aclara las cosas.

En Epsiclas, al calcular las áreas de los polígonos regulares y del círculo, podemos ver dos de sus apariciones.  

El baile de 42

Juan le enseña el acertijo a Nieves y Nieves nos lo manda. Es un problema con 42 bailarines, y es casi trivial, aunque la forma en que se presenta la información es muy curiosa: hace necesario leer.

Mr. Nobody

Esta película de Jaco Van Dormael habla del caos, del azar, del tiempo y de las segundas y terceras oportunidades. Magnífica.

Cisoides

En la sección de curvas añado una entrada para la cisoides que más que una curva es toda una familia de ellas. Allí puede encontrarse un enlace al laboratorio, donde se dibujan; otro a fragmentos, donde se deducen sus ecuaciones; y uno más a literatura, donde incluyo unas citas del libro de relatos Las fuerzas extrañas, de Leopoldo Lugones, que es la razón de que me haya dedicado a trabajar un poco estas curvas que relacionan curvas.

Dice Lugones: "Exponiendo matas de hiedra a la luz solar, en un sitio donde ésta entraba por aberturas romboidales solamente, he llegado a alterar la forma de su hoja, tan persistentemente, sin embargo, que es el tipo geométrico de la curva cisoides; y luego, es fácil observar que las hierbas rastreras de un bosque se desarrollan imitando los arabescos de la luz a través del ramaje…".

  

Brusspup: illusions and sciencia

Alejandro Sierra manda este enlace a una canal de vídeos, Brusspup: illusions and sciencia, una magnífica colección de ilusiones ópticas de esas que demuestran que el mundo no es una aplicación wysiwyg.

Los azulejos perdidos

Nieves propone este vídeo, en el que se muestra el sorprendente truco de los tres azulejos perdidos.

Folium de Descartes

En Curvas añado las ecuaciones paramétricas de esta curva y un archivo GeoGebra que la genera.

Dados

Cera es uno de los mejores cuentos del libro Escalas melografiadas de César Vallejo. Misterioso relato, la cita que incluyo da el tono de su extrañeza, y empieza así:

"Los dados saltaron de la diestra del asiático..."

Cuadratriz

Añado una nueva curva: la famosa Cuadratriz. Además de la inusual imagen de la derecha, también incorporo la obtención de sus ecuaciones cartesianas y polares y su visualización como curva mecánica.

Epsilones 2014

Estas son las primeras novedades de Epsilones en año y medio. No te voy a aburrir con mi vida. Solo te cuento que entre cerrar el quiosco y remozarlo opté por lo último, todavía no sé muy bien por qué, aunque sospecho que la vanidad tiene algo que ver. La broma me ha costado siete meses de trabajo, pero todo sea por la fama y la gloria...

Los contenidos que desgloso a continuación tienen básicamente tres fuentes: las lecturas, los viajes y la gente, que la hay generosa y aporta cosas. Como hay mucho que ver, te ahorro el hilo que me llevó de un tema a otro. Si tienes curiosidad por los cambios en el formato, puedes leer la bienvenida.

Historia

• Retratos: Arquímedes. No estaba, y es imperdonable.
• Citas: el desorden escapa al número (Plutarco). Antes de amaestrar el caos.
• Citas sobre el infinito: Hilbert.
• Definiendo la matemática: Hilbert.
• El baúl: la historia de las matemáticas a través de los sellos.

Artes

• Pintura, escultura, grabado, mosaico: La muerte de Arquímedes.
• Decorativas:Azulejos: Museo Nacional do Azulejo (Lisboa, Portugal).
• Instalación: Chapter I : The Discover (Luque Sánchez)
• Vídeo: Pipas, de Manuela Moreno. Real como la vida misma.
• Literatura:
  • Zamiátin, el padre de la distopía.
  • Pessoa, la tristeza de la nada.
  • Más Pessoa: definiendo la espiral.
  • Borges, uno, dos, tres, cuatro, muchos.
• Música:
  • No soy formal (Cucharada). Los viejos tiempos.
  • Bohemian Gravity! (Mercury-Blais): la teoría de cuerdas ¡cantada!

Figuras imposibles e ilusiones ópticas

• Figuras imposibles : Escher hecho realidad.
• Ilusiones ópticas: El ajedrez sombreado: vídeo ilustra una de mis ilusiones opticas preferidas.
• Arte:
  • Belvedere (Escher).
  • Relatividad (Escher).
• Bestiario: cubo imposible.

Problemas

• Número de sílabas posibles en castellano.
• Los dos loros.
• Cuartos de final.

Juguetes

• Unos imanes de nevera con las formas de cometa y flecha de los teselados aperiódicos de Penrose me sirven para inaugurar una nueva sección transversal de Epsilones: Juguetes.

Esto es lo que hay. Quiero dar las gracias a quienes han aportado su saber a estas páginas: Nieves, Alfredo, Juan Antonio y, muy especialmente, a Ximo y a Alejandro, sin cuya insistencia en contarme cosas interesantes posiblemente Epsilones ya no existiría.

Que os vaya bonito.

Alberto.